Superficies

• Una superficie es el lugar geométrico de las posiciones distintas de una línea o curva en el espacio. 
• Una superficie es la envoltura que circunda a un cuerpo. Los planos directores o directrices son los que establecen el movimiento de la generatrices de la superficie. 
• Pueden ser limitadas o ilimitadas según que contengan un volumen finito dentro de un cuerpo o no. 
• Superficie tangencial es aquella que tiene una línea común como otra superficie, sin cortarla ni atravesarla.
• Superficie plana es aquella en la que se pueden trazar líneas rectas en cualquier dirección de la misma.
• Superficie envolvente es la que genera distintas posiciones de otra superficie llamada involuta.

Tipos de Superficies

Regladas 

Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, manteniéndose en contacto con otra u otras líneas, denominadas directrices, cumpliendo además en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.

Alabeadas

Es una superficie reglada nó desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este tipo de superficies, se puede citar:

cilindroide: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices (d1 y d2) curvas,

conoide: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2).

Superficie doblemente reglada: Superficie alabeada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden citar:

paraboloide hiperbólico: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices rectas (d1 y d2) que se cruzan,

hiperboloide de revolución: la generatriz (g) se apoya sobre dos directrices (d1 y d2) circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el ángulo (a0) que forma ellas.

Simple curvatura

Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan).

Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son:

superficie cilindrica: superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, siendo además paralelas todas las posiciones de la generatriz; se clasifican en:

superficie cilindrica de revolución: superficie cilíndrica en la cual todas las posiciones de la generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a ella,

superficie cilindrica de nó revolución: superficie cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la generatriz (g),

superficie cónica: superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas las posiciones de la generatriz (g), un punto común (V), denominado vértice; se clasifican en:

superficie cónica de revolución: superficie cónica en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que pasa por el vértice (V),

superficie cónica de nó revolución: superficie cónica en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.

Superficie cilíndrica

Es aquella que genera una recta cuando se mueve siempre paralela a una dirección dada.

Doble curvatura

Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuádricas son:

esfera: la generatriz (g) es una circunferencia,

elipsoide: la generatriz (g) es una elipse,

paraboloide: la generatriz (g) es una parábola,

hiperboloide: La generatriz (g) es una hipérbola.

Superficies radiadas :

Son las que se generan por el movimiento de una recta apoyada en un punto propio o impropio y sobre una línea o curva.Las superficies radiadas son regladas (eso quiere decir que si tomamos una generatriz de la misma podemos seguir toda su superficie con el canto de una regla) y desarrollables (se pueden extender sobre un plano) además pueden ser cilíndricas o prismáticas si el punto de contacto con la regla está en el infinito.

Superficie cónica

Se engendra por una línea recta que se desplaza incidiendo siempre en un mismo punto fijo y por una línea directriz curva. (Línea directriz es aquella línea por la que pasan todas las generatrices, y las generatrices son las líneas que determinan la superficie).

La superficie es reglada por estar formada por cilindros (intersección de 3 cilindros iguales de ejes concurrentes ortogonales). Los cilindros son superficies cuyas generatrices pueden seguirse con una regla tocando todos sus puntos.

Superficies desarrollables

Son las que se pueden extender sobre un plano sin deformación, como por ejemplo las superficies cilíndricas y cónicas. Dos generatrices infinitamente próximas se cortan. Si un plano es tangente a la superficie en un punto lo es en toda la generatriz que pasa por ese punto,por regla general cualquiera de estas propiedades son suficientes para que la superficie sea considerada desarrollable.

Superficies cerradas

Un ejemplo de una superficie cerrada y múltiplemente conexa es el triple toro.

Intuitivamente una superficie cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada". En 4 o más dimensiones también existen superficies cerradas pero la noción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma.

Superficie compuesta

Es aquella engendrada o constituida por la combinación de otras.

Superficie de revolución

Está engendrada por una línea o curva que gira en torno a un eje y es co-planaria con él.

Superficies de evolución

Como refiere su nombre, son superficies que evolucionan con curvas o líneas de distinta forma. Superficie de evolución es aquella que evoluciona o se transforma, generándose por la unión de curvas distintas. En la figura un cuadrado se transforma de forma uniforme en una circunferencia. Para su construcción digital se utiliza el comando solevación. Su apariencia a veces es de una forma imposible, de una figura con una perspectiva mal dibujada -como la que aparenta el dibujo.

Como ejemplo de superficies de evolución o de desarrollo tenemos carrocerías de automóviles, fuselajes de aviones, casco de navíos y superficies irregulares complejas que suelen ser redondeadas y suaves y cuya definición del contorno no es suficiente para definirlas. La forma de definirlas es mediante proyecciones principales o secciones principales entre planos paralelos. Es algo análogo a lo que se hace en el sistema acotado, representar una montaña por líneas de contorno o de nivel, este es un ejemplo también del método que se viene haciendo desde hace años para la construcción de barcos.

Superficie poliédrica

Es la que está constituida por varios planos que se cortan entre sí.

Cálculo de Superficies

Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.

Construcción

Construcción de polígonos mediante el compás.

Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir graficamente diversos polígonos.

El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituídos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.

El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.

Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.

Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunsferencia.

Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.

Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunsferencia en sus extremos (diámetro AB).

Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.

Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo.

Para trazar un hexágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia, y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.

Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que corresponden a los vértices del hexágono.

Clasificación de los polígonos

Elementos de un polígono

Lados: son cada uno de los segmentos que limitan el polígono.
Vértices: son los puntos en los que se unen los lados.
Ángulos: porción de plano comprendida entre dos lados y un vértice común.
Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

Elementos de un polígono regular

Centro: Punto interior que equidista de cada vértice.
Radio: Es el segmento que va del centro a cada vértice.
Apotema: Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.

Ejemplo:
Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º


Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior = 180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º


Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Según sus ángulos

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°.

Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos
Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior.

Polígonos según su número de lados

Fórmulas

Perímetro de un polígono regular:

El perímetro es igual al número de lados por la longitud del lado.

P = n · l

Área de un polígono regular:

Apotema de un polígono regular:

Polígonos

Polígonos

Podemos determinar que aquel origen se encuentra en la unión de dos vocablos: poli, que puede traducirse como “muchos”, y gono que es sinónimo de “ángulo”. Por lo tanto, partiendo de esta estructura queda claro que literalmente un polígono es aquello que tiene muchos ángulos. 

Un polígono es la figura geométrica de un plano que está establecida por líneas rectas. Se trata de un fragmento plano que está formado por segmentos consecutivos sin alineación, que reciben el nombre de lados.

Poligonos regulares

De acuerdo a sus características, es posible hablar de diferentes tipos de polígonos. Los polígonos regulares son aquellos cuyos lados y sus ángulos interiores resultan iguales. Esto quiere decir que todos los lados miden lo mismo, al igual que los ángulos que forman las uniones de estos segmentos.

Estas propiedades, por otra parte, hacen que todos polígonos regulares sean polígonos equiláteros (con lados de idéntica longitud) y equiangulares (la totalidad de sus ángulos interiores miden lo mismo).

Un ejemplo de polígono regular, por lo tanto, es un cuadrado cuyos lados midan 5 centímetros cada uno y sus ángulos interiores, 90º cada uno. Otros polígonos regulares son los triángulos equiláteros, los hexágonos regulares y los pentágonos regulares.

Para calcular cuánto miden los ángulos interiores de un polígono regular, se puede apelar a la siguiente fórmula: (n-2) x 180 grados / n. Si tomamos el caso de un cuadrado, despejaríamos la incógnita de la siguiente manera (ya que el número de lados o n es igual a 4):

(4-2) x 180 grados / 4

2 x 180 grados / 4

360 grados / 4

90 grados

Esta fórmula nos permite confirmar que los ángulos interiores de un cuadrado miden noventa grados cada uno.

Cabe destacar que existen múltiples fórmulas para calcular otras características de los polígonos regulares, como su área o sus ángulos exteriores.

Existen diversas clasificaciones de los polígonos. Se conoce como polígono simple a aquel en el que dos de sus aristas no consecutivas no se instersectan. En el polígono complejo, en cambio, dos de sus aristas que no son consecutivas sí se cortan.

Otros tipos de polígonos son el cóncavo (cuando lo atraviesa una recta puede cortarlo en más de un par de puntos), convexo (al ser atravesado por una línea recta, lo interrumpe en no más de dos puntos), regular (sus lados y ángulos son iguales), irregular (sus lados y ángulos son desiguales), equiángulo (todos sus ángulos resultan iguales) y equilátero (todos sus lados cumplen con la propiedad de la igualdad).

En cuanto a la forma de sus lados, los polígonos pueden ser rectilíneos (sus lados son segmentos rectos) o curvilíneos (al menos uno de sus lados es curvo). Cuando un polígono tiene más de dos dimensiones, por otra parte, puede denominarse poliedro (en tres dimensiones), polícoro (en cuatro dimensiones) o politopo (en n dimensiones).

Aquellos polígonos cuyos lados no se encuentran en el mismo plano, por su parte, se nombran como polígonos alabeados.

Geometría y composición

¿Qué es la geometría?

El ser humano necesito contar y creo los números, quiso hacer cálculos y definió las operaciones. Por medio de lo anterior, mas el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario. El hombre siempre admirador de la naturaleza y todo lo que le rodea fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.

La palabra geometría está formada por las raíces griegas: “geo”, tierra y “metrón”, medida. La geometría es una de las ciencias más antiguas, inicialmente constituía un cuerpo de conocimiento práctico en relación con las longitudes, aéreas y volúmenes. La geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

Aplicaciones de la Geometría

La geometría pose múltiples aplicaciones prácticas como por ejemplo en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

Principales exponentes de la geometría

Como bien decíamos más arriba el nacimiento de esta disciplina se remonta al Antiguo Egipto, la geometría clásica basada en axiomas que predominaba por esos días se valía del compás y la regla para estudiar las distintas construcciones.

Como la geometría no es plausible de errores, es que se desarrollaron los sistemas axiomáticos que proponían una disminución en el error y suponía un método sumamente riguroso. El primer sistema axiomático llegó como no podía ser de otra manera con quien hoy es considerado como el padre de la Geometría, el matemático griego Euclides.

Su obra Los Elementos recopila sus enseñanzas en el mundillo académico de ese entonces y es una de las obras más conocidas y la que más vueltas le ha dado al mundo.

 

Clasificación

Geometría analítica
La geometría analítica es el estudio y representación de los elementos y figuras geométricas mediante expresiones numéricas y algebraicas en un sistema de coordenadas. Permite la representación de figuras a través de fórmulas. Este tipo de geometría se aplica, por ejemplo, en la Física para representar elementos como los vectores en un sistema de coodenadas.

Geometría descriptiva
La geometría descriptiva es el estudio y representación gráfica de las figuras a través de la proyección ortogonal en un plano. Permite identificar y analizar las propiedades geométricas y la relación espacial de las figuras. Los elementos geométricos que la forman son el punto, la línea, el plano y el volumen.

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. También se conoce como geometría euclídea y en ocasiones geometría parabólica. Se basa en los postulados del matemático griego Euclides. Engloba la geometría plana (dos dimensiones) y la geometría del espacio o espacial (tres dimensiones).

Geometría plana
La geometría plana es la parte de la geometría que estudia las figuras representadas en un plano (en dos dimensiones: largo y ancho).

Geometría molecular
La geometría molecular es el estudio de la estructura de los átomos que forman una molécula. También se conoce a veces como estructura molecular. La disposición de los átomos determina las propiedades físicas y químicas de una molécula.
Algunos ejemplos de la forma geométrica que puede tener una molécula son: lineal, tetraédrica y angular (por ejemplo la molécula del agua).

¿Cómo se puede aplicar en el diseño gráfico?

¿Qué relación tiene con el diseño gráfico? 

El objetivo de un diseñador gráfico es crear arte en su medio en particular. Si el diseñador trabaja en animación por computadora, dibujo, pintura o con planos, la geometría y sus principios son aplicables en gran medida. Dibujar correctamente una casa, un árbol o incluso el retrato de una persona requiere que un diseñador gráfico sea capaz de traducir las relaciones espaciales del mundo real, o de la imagen de esa persona en su mente, en su medio de elección. Esto significa que el diseñador tiene que utilizar los principios de la geometría con el fin de crear resultados. Aunque se podría argumentar que los arquitectostienen que ser más precisos que un dibujante de cómics, los dos están trabajando bajo los mismos principios de las relaciones espaciales.

Animación

En ningún lugar se usa más la geometría que en la animación por computadora. Se utiliza para hacer películas como "Shrek", o para lograr efectos poco realistas en películas, la animación porcomputadora es el arte de diseñar todo un mundo dentro del espacio del programa de la computadora usando nada más que la geometría. Las figuras son creadas a partir de cientos, a veces miles, de polígonos. Estas formas, cuando se ponen juntas, forman una figura en tres dimensiones. Esto significa que la figura puede ser adecuadamente colocada en un mundo tridimensional, y que va a moverse e interactuar con un mundo diseñado en los mismos principios. La geometría y el diseño gráfico se fusionaron casi a la perfección para crear un todo entretenido.

Bibliografía

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http://www.definicionabc.com/general/geometria.php

http://www.significados.com/geometria/

http://www.ehowenespanol.com/geometria-disenadores-graficos-como_55772/

http://www.scribd.com/doc/26158296/Geometria-y-su-aplicacion-en-el-diseno-grafico#scribd

http://dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/CS_SuperficiesRegladas.pdf

http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/teoria/cap_01a-conceptos_geometricos/05-superficie.htm#supregala

http://www.escolar.com/geometr/11calcu.htm

http://www.escueladigital.com.uy/geometria/4_figplanas.htm#construccion

http://poligonomodular.blogspot.mx/2011/01/definicion-de-solidos-geometricos.html

http://www.aula365.com/post/los-cuerpos-geometricos

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L3_T1_text_final_es.html

http://www.vitutor.net/2/2/6.html

http://www.ditutor.com/geometria_analitica/parabola.html

http://concepto.de/volumen/